La matière complexe

La matière complexe

Rapporteur : François Daviaud (CEA).

Contributeurs : Giulio Biroli (CEA), Daniel Bonamy (CEA), Elisabeth Bouchaud (CEA), Olivier Dauchot (CEA, Commissariat à l’energie atomique), François Daviaud (CEA), Marc Dubois (CEA SPEC), Berengère Dubrulle (CEA), François Ladieu (CEA), Denis L’Hôte (CEA).

Mots clés : dynamiques vitreuses, relaxations lentes, frustration et désordre, comportements collectifs, systèmes hors équilibre et non linéaires, auto-organisation, turbulence, effet dynamo, fracture.
Introduction
Le domaine des systèmes complexes et hors équilibre est actuellement enrichi par un grand nombre de nouvelles expériences et concepts théoriques dans diverses branches de la physique, de la physique de la matière condensée à la physique des gaz atomiques ultra-froids, et de la biologie. Au-delà de leur diversité apparente, ces systèmes partagent une même caractéristique : l’émergence de comportements collectifs complexes à partir de l’interaction de composants élémentaires. Les dynamiques vitreuses, les systèmes hors équilibre, l’émergence de structures auto-organisées ou auto-assemblées, la criticité, les systèmes de percolation, la propagation des parois de domaines et l’épinglage des parois élastiques, les systèmes non linéaires, la propagation des turbulences et des ruptures sont quelques-uns des sujets relatifs à l’étude de la matière complexe qui ne peuvent être abordés qu’au moyen des outils développés pour l’étude des systèmes complexes. La compréhension de ces phénomènes requiert également le développement de nouvelles méthodes théoriques en physique statistique et la conception de nouveaux types d’expériences.

Grands défis

 


2.1.1. Physique statistique hors équilibre

L’intérêt ancien durable pour les phénomènes hors équilibre a récemment connu un regain notable, ce qui s’explique par le développement de nouveaux concepts théoriques (en particulier sur les symétries des fluctuations de non-équilibre) et de nouveaux domaines d’application, de la physique de la matière condensée à d’autres branches de la physique (collisions d’ions lourds, Univers primordial), et de la biologie (manipulation de molécules uniques). Les phénomènes de non-équilibre jouent également un rôle important dans de nombreuses applications interdisciplinaires de la physique statistique (modélisation du comportement collectif des animaux ou des agents économiques et sociaux).

Un système physique peut être hors équilibre pour l’une des deux raisons suivantes :

  • Dynamiques lentes. Les dynamiques microscopiques du système sont réversibles, de sorte que le système possède une véritable situation d’équilibre. Les dynamiques de certains degrés de liberté sont néanmoins trop lentes pour que ces variables s’équilibrent au cours de l’expérience. Le système est donc dans un état de non-équilibre évoluant lentement pendant une très longue période (à l’infini dans certains systèmes modèles). Les traits caractéristiques de ce régime de relaxation de non-équilibre, y compris la violation du théorème fluctuation-dissipation, ont fait l’objet d’une intense recherche au cours de la dernière décennie. Ces phénomènes sont appelés phénomènes de « vieillissement » (voir section sur les dynamiques vitreuses).
  • Dynamiques forcées. Les dynamiques du système ne sont pas réversibles, généralement en raison de forces macroscopiques dues à des forces extérieures. Par exemple, un champ électrique induit un courant non nul dans tout le système, anéantissant la réversibilité des dynamiques stochastiques sous-jacentes. Le système atteint un état stationnaire de non-équilibre permanent. Il existe aussi des systèmes (du moins des systèmes modèles) où l’absence de réversibilité se situe exclusivement au niveau microscopique et ne dépend pas de forces macroscopiques extérieures. Le paradigme de ce type de situation est le célèbre modèle de l’électeur.

L’un des progrès les plus marquants de la dernière décennie a été la découverte de toute une série de résultats généraux concernant les symétries des fluctuations spontanées des états de non-équilibre. Ces théorèmes associés à des noms tels que Gallavotti, Cohen, Evans et Jarzynski, ont été appliqués ou testés dans de nombreuses circonstances, dans la théorie comme dans l’expérimentation.

La plupart des efforts récents dans ce domaine ont été consacrés à l’interaction des systèmes de particules. Cette vaste catégorie de systèmes stochastiques est couramment utilisée pour modéliser un large éventail de phénomènes de non-équilibre (réactions chimiques, conduction ionique, transport dans les systèmes biologiques, circulations et écoulements granulaires). Les méthodes analytiques sont un moyen efficace pour étudier un grand nombre de systèmes de particules en interaction ; elles ont déjà permis de résoudre certaines questions concernant ces systèmes.

Si le formalisme habituel de la physique statistique à l’équilibre ne s’applique pas aux systèmes hors équilibre, nous savons à présent que la plupart des outils développés pour les systèmes à l’équilibre peuvent également être utilisés pour les systèmes hors équilibre. C’est notamment le cas dans le cadre de comportements critiques, où des concepts tels que l’invariance d’échelle et l’échelonnage de taille finie ont fourni des preuves (essentiellement numériques) de l’universalité des systèmes de non-équilibre. Il est possible d’étudier des systèmes dans lesquels le caractère de non-équilibre ne provient pas de la présence de gradients imposés, par exemple, par des réservoirs de limites mais de la rupture de la microréversibilité – c’est-à-dire l’invariance de réversibilité temporelle – au niveau des dynamiques microscopiques dans la masse.

Une grande partie de la recherche sur la physique statistique hors équilibre est également axée sur les différentes transitions de phase observées dans de nombreux contextes. En effet, beaucoup de situations de non-équilibre peuvent être en interrelation, révélant un degré d’universalité qui dépasse largement les limites d’un domaine particulier : il a été démontré, par exemple, que la criticité auto-organisée du tas de sable (jeu) est équivalente au dépiégeage de l’interface linéaire en milieu aléatoire, comme à une façon particulière d’absorber les transitions de phase dans les modèles de réaction-diffusion. Un autre exemple frappant est la transition de jamming qui relie les domaines des milieux granulaires et des matériaux vitreux. Cela a été étudié expérimentalement par une expérience modèle consistant à découper une couche de disques métalliques. La synchronisation et l’échelonnage dynamique sont également des phénomènes très généraux qui peuvent être reliés entre eux ainsi qu’au problème général de la compréhension de l’universalité des systèmes hors d’équilibre.


2.1.2. Endommagement et rupture des matériaux hétérogènes

Comprendre l’interrelation entre les microstructures et les propriétés mécaniques a été l’un des principaux objectifs de la science des matériaux durant les dernières décennies. Les modèles prédictifs quantitatifs sont encore plus nécessaires pour l’étude de conditions extrêmes – température, environnement ou irradiation, par exemple – ou de comportement à long terme. Si certaines propriétés, comme les coefficients d’élasticité, se rapprochent bien de la moyenne des propriétés des divers composants microstructurels, aucune des propriétés liées à la rupture – élongation, contrainte jusqu’à défaillance, résistance à la rupture – ne suit cette simple règle, principalement : (i) en raison du gradient élevé de contrainte au voisinage d’une fissure et (ii) parce que, comme les éléments les plus fragiles de la microstructure se brisent en premier, nous avons affaire à des statistiques extrêmes. En conséquence, il est impossible de remplacer un matériau par un milieu « équivalent efficace » au voisinage d’une fissure. Cela a plusieurs conséquences importantes.

2.1.2.1. Effets de taille sur la défaillance des matériaux
Dans les matériaux fragiles, par exemple, les fissures partent des éléments les plus faibles des microstructures. En conséquence, la résistance et la durée de vie présentent des statistiques extrêmes (loi de Weibull, loi de Gumbel), dont la compréhension exige des approches fondées sur la physique non linéaire et statistique (théorie de la percolation, modèle du fusible aléatoire, etc.).

2.1.2.2 Propagation des fissures dans les matériaux hétérogènes
La propagation des fissures est le mécanisme fondamental conduisant à la défaillance des matériaux. Si la théorie du continuum élastique permet de décrire avec une grande précision la propagation des fissures dans les matériaux fragiles homogènes, nous sommes encore loin de comprendre ce phénomène en milieu hétérogène. Dans ces matériaux, la propagation des fissures présente souvent une dynamique saccadée, par sauts brusques qui s’étendent sur une vaste gamme de longueurs d’échelles. C’est également ce que suggère l’émission acoustique qui accompagne la rupture de différents matériaux et, à une bien plus grande échelle, l’activité sismique associée aux tremblements de terre. Cette dynamique de « craquement » intermittent ne peut être saisie par la théorie du continuum standard. De plus, la propagation des fissures crée une structure qui lui est propre. Cette apparition de rugosité a permis de démontrer qu’il existait des caractéristiques morphologiques universelles, indépendantes du matériau, comme des conditions de charge, rappelant les problèmes de croissance d’interfaces. Ceci suggère que des approches issues de la physique statistique peuvent permettre de décrire la défaillance des matériaux hétérogènes. Ajoutons enfin que les mécanismes deviennent bien plus complexes lorsque la vitesse de propagation des fissures augmente et se rapproche de celle du son, comme dans les problèmes d’impact ou de fragmentation, par exemple.

2.1.2.3. Déformation plastique des matériaux vitreux
En raison de l’intensification de la contrainte aux extrémités de la fissure, la rupture s’accompagne généralement de déformations irréversibles, même dans les matériaux amorphes les plus fragiles. Si l’origine physique de ces déformations irréversibles est désormais bien connue pour les matériaux métalliques, elle n’est toujours pas expliquée pour les matériaux amorphes tels que les verres d’oxyde, les céramiques ou les polymères, où les dislocations ne peuvent être définies.


2.1.3. Dynamiques vitreuses : verres, verres de spin et milieux granulaires

2.1.3.1. Verres
La physique des verres ne concerne pas uniquement les verres utilisés dans la vie quotidienne (silicates), mais un ensemble de systèmes physiques tels que les verres moléculaires, polymères, colloïdes, émulsions, mousses, verres de Coulomb, matériaux granulaires, etc. Comprendre la formation de ces systèmes amorphes, la transition vitreuse, et leur comportement hors équilibre est un défi qui a résisté à l’important effort de recherche en physique de la matière condensée au cours des dernières décennies. Ce problème concerne plusieurs domaines, de la mécanique statistique et la matière molle aux sciences des matériaux, en passant par la biophysique. Plusieurs questions ouvertes sont posées : le blocage est-il dû à une réelle transition de phase sous-jacente ou s’agit-il d’un simple croisement avec une partie de l’universalité du mécanisme de forçage ? Quel est le mécanisme physique responsable du ralentissement de la dynamique et de la vitrosité ? Quelle est l’origine des effets de vieillissement, de rajeunissement et de mémoire ? Quels sont les concepts communs qui émergent pour décrire les différents systèmes évoqués ci-dessus et qui demeurent spécifiques à chacun d’eux ?

Il est toutefois intéressant de noter qu’il a récemment été établi que le ralentissement visqueux des liquides en surfusion et autres systèmes amorphes pourrait être lié à l’existence de véritables transitions de phase d’une nature très particulière. Contrairement aux transitions de phase habituelles, la dynamique des vitrifiants ralentit considérablement, alors que leurs propriétés structurelles ne changent presque pas. Nous commençons seulement à comprendre la nature de l’ordre amorphe à longue distance qui apparaît à la transition vitreuse, les analogies avec les verres de spin et leurs conséquences physiques observables. L’une des conséquences les plus intéressantes est l’existence d’hétérogénéités dynamiques (HD) : il a été découvert qu’elles étaient (dans le domaine spatio-temporel) l’équivalent de fluctuations critiques dans les transitions de phase standard. Intuitivement, à mesure que l’on approche de la transition vitreuse, des régions de plus en plus importantes de la matière doivent se déplacer simultanément pour permettre l’écoulement, ce qui produit des dynamiques intermittentes, dans l’espace et le temps. L’existence d’une transition de phase sous-jacente et d’hétérogénéités dynamiques devrait influer sensiblement les comportements rhéologiques et de vieillissement de ces matériaux, qui sont en effet très différents des comportements des simples liquides et solides. En conséquence, les progrès dans la compréhension des dynamiques vitreuses devraient donner lieu à plusieurs avancées technologiques. Les propriétés particulières des verres sont technologiquement utilisées, par exemple, pour l’entreposage des déchets nucléaires.

D’un point de vue expérimental, les principaux défis ont changé, non seulement parce que les progrès dans ce domaine ont donné lieu à des questions radicalement nouvelles, mais aussi parce que de nouvelles techniques expérimentales permettent à présent aux chercheurs d’étudier les systèmes physiques à l’échelle microscopique. Les nouveaux défis pour les années à venir sont : i) étudier les propriétés dynamiques locales pour découvrir les changements dans la manière dont les molécules évoluent et interagissent pour rendre la dynamique vitreuse, et en particulier la raison pour laquelle le temps de relaxation de liquides en surfusion augmente de plus de 14 ordres de grandeur dans une fenêtre étroite de température ; ii) apporter une preuve directe et quantitative que la dynamique vitreuse est ou n’est pas liée à une transition de phase sous-jacente ; iii) étudier la nature des hétérogénéités dynamiques (corrélation entre leur taille et leur temps d’évolution, dimensions fractales, etc.) ; iv) étudier la nature des propriétés hors équilibre des verres, comme la violation du théorème de fluctuation-dissipation, l’intermittence, etc.

D’un point de vue théorique, le plus grand défi est d’élaborer et de développer une théorie appropriée de la dynamique vitreuse à l’échelle microscopique. Il s’agira de révéler les mécanismes physiques sous-jacents qui provoquent le ralentissement et la dynamique vitreuse, et d’élaborer une théorie quantitative pouvant être confrontée aux expériences. L’objectif principal sera à nouveau axé sur les propriétés dynamiques locales, leur longueur d’échelle associée et leur relation avec les échelles de temps croissantes et les propriétés générales de la dynamique vitreuse.

2.1.3.2. Verres de spin
L’expression « verres de spin » a été inventée pour décrire certains alliages de métaux non magnétiques comportant un petit nombre d’impuretés magnétiques, disposées de manière aléatoire, où la preuve expérimentale pour une phase à basse température a démontré un gel non périodique des moments magnétiques avec une réponse aux perturbations extérieures très lente et dépendante de l’histoire du matériau. Les états fondamentaux des verres de spin sont le désordre et la frustration. La frustration exprime le fait que l’énergie de tous les couples de spins ne peut pas être simultanément réduite. L’analyse théorique des verres de spin conduit au fameux modèle Edwards Anderson : spins classiques sur réseaux hypercubiques avec interactions aléatoires entre plus proches voisins. Cela a conduit à de nombreux développements au fil des ans, et les concepts élaborés pour résoudre ce problème ont trouvé des applications dans de nombreux domaines, des verres structuraux et des milieux granulaires aux problèmes informatiques (codes de correction d’erreurs, optimisation stochastique, réseaux de neurones, etc.).

Le programme de développement d’une théorie du champ des verres de spin est extrêmement compliqué, et ses avancées sont régulières et lentes. Les méthodes théoriques ne permettent pas encore d’établir des prédictions précises en trois dimensions. Les simulations numériques rencontrent plusieurs obstacles : nous ne pouvons pas équilibrer les échantillons de plus de quelques milliers de spins, la simulation doit être reproduite pour un grand nombre d’échantillons de désordres (en raison du non-auto-moyennage), et les corrections de taille finie diminuent très lentement.

Les verres de spin constituent en outre un cadre d’expérimentation particulièrement adapté pour la recherche sur la dynamique vitreuse. La dépendance de leur réponse dynamique par rapport au temps d’attente (effet de vieillissement) est un phénomène courant observé dans des systèmes physiques très différents tels que les polymères et les verres structuraux, les diélectriques désordonnés, les gels et les colloïdes, les mousses, les contacts de frottement, etc.

2.1.3.3. Milieux granulaires au voisinage de la transition de jamming
L’expérience commune montre que si la fraction volumique de grains durs augmente au-delà d’un certain point, le système se bloque, cesse de s’écouler et devient capable de supporter des contraintes mécaniques. Le comportement dynamique des milieux granulaires à proximité de la transition de jamming est très semblable à celui des liquides à proximité de la transition vitreuse. En effet, les milieux granulaires à proximité de la transition de jamming présentent un même ralentissement considérable de la dynamique ainsi que d’autres caractéristiques vitreuses telles que les effets de vieillissement et de mémoire. L’une des principales caractéristiques de la dynamique dans les systèmes de vitrification est ce que l’on appelle généralement l’effet de cage, qui explique les différents mécanismes de relaxation : à court terme, toute particule est piégée dans une zone confinée par ses voisines, qui constituent la cage, et provoque une dynamique lente ; après une période suffisamment longue, la particule parvient à échapper à sa cage, de sorte qu’elle peut diffuser à travers l’échantillon par changements de cage successifs, ce qui accélère la relaxation. Contrairement au ralentissement critique standard, cette dynamique vitreuse lente ne semble pas liée à un accroissement de l’ordre statique local. Pour les vitrifiants, il a plutôt été suggéré que la relaxation devient fortement hétérogène et que les corrélations dynamiques augmentent à proximité de la transition vitreuse. L’existence de cette corrélation dynamique croissante est très importante, car elle révèle une sorte de criticité associée à la transition vitreuse.

On peut étudier, par exemple, la dynamique d’une monocouche bidisperse de disques sous deux forçages mécaniques différents, c’est-à-dire de cisaillement cyclique et de vibrations horizontales. Dans le premier cas, une confirmation de la similarité évoquée ci-dessous a été obtenue au niveau microscopique, et le second cas peut apporter la preuve expérimentale d’une divergence simultanée d’échelles de longueur et de temps précisément à la fraction volumique pour laquelle le système perd sa rigidité (transition de jamming).


2.1.4. Bifurcations dans les milieux turbulents : de l’effet dynamo aux dynamiques lentes

2.1.4.1. Effet dynamo
L’effet dynamo est l’émergence d’un champ magnétique à travers le mouvement d’un fluide conducteur électrique. On pense que cet effet est à l’origine des champs magnétiques des planètes et de la plupart des objets astrophysiques. L’une des caractéristiques les plus frappantes de l’effet dynamo terrestre, révélé par les études paléomagnétiques, est l’observation de renversements irréguliers de la polarité de son champ dipolaire. De nombreux travaux ont été consacrés à ce problème, par la théorie et par numérisation, mais l’ensemble des paramètres pertinents pour les objets naturels dépasse les possibilités des simulations numériques pour de nombreuses années encore, notamment en raison des turbulences. Pour les dynamos industrielles, le trajet des courants électriques et la géométrie des rotors (solides) sont entièrement définis. Comme cela ne peut être le cas pour l’intérieur des planètes ou des étoiles, des expériences visant à étudier des dynamos en laboratoire ont évolué vers l’assouplissement de ces contraintes. Les expériences menées à Riga et à Karlsruhe en 2000 ont montré que les fluides dynamos peuvent être générés par l’organisation de fluides de sodium favorables, mais les champs dynamos n’ont qu’une dynamique temporelle. La recherche de dynamiques plus complexes, telles que celles des objets naturels, a encouragé la plupart des équipes travaillant sur le problème de l’effet dynamo à concevoir des expériences avec des fluides moins contraints et un niveau de turbulence supérieur. En 2006, l’expérience Von Kármán Sodium (VKS) a été la première à montrer des régimes où une dynamo statistiquement stationnaire apparaît spontanément dans un fluide turbulent. Elle a ensuite montré pour la première fois d’autres régimes dynamiques, tels que les renversements irréguliers comme ceux de la Terre, et les oscillations périodiques, comme celles du Soleil.

Ces régimes complexes, impliquant un puissant couplage entre hydrodynamiques et MHD, doivent être étudiés en détail. Ils révèlent en particulier que si le champ magnétique dynamo est généré par les fluctuations turbulentes, il se comporte comme un système dynamique présentant peu de degrés de liberté.

Les prédictions théoriques concernant l’influence de la turbulence sur le seuil dynamo du fluide moyen sont rares. De faibles fluctuations de vitesse produisent un faible impact sur le seuil dynamo. Des prédictions pour des amplitudes de fluctuations aléatoires peuvent être obtenues si l’on considère la dynamo turbulente comme une instabilité forcée par le fluide moyen) en présence d’un bruit multiplicatif (fluctuations turbulentes). Dans ce contexte, les fluctuations peuvent favoriser ou entraver la croissance du champ magnétique en fonction de leur intensité ou du temps de corrélation. Les méthodes de simulation directe et de simulation numérique stochastique des équations de magnétohydrodynamique (MHD) peuvent être utilisées pour étudier l’influence de la turbulence sur le seuil dynamo.

2.1.4.2. Bifurcations en milieu turbulent
À des nombres de Reynolds élevés, certains systèmes sont soumis à une bifurcation turbulente entre différentes topologies moyennes. De plus, cette bifurcation turbulente peut conserver la mémoire de l’histoire du système. Ces aspects de la bifurcation turbulente rappellent les propriétés classiques des bifurcations dans les systèmes de petite dimension, mais la dynamique de bifurcation est réellement différente, probablement en raison de la présence de fluctuations turbulentes très importantes. Les études à venir porteront sur la pertinence universelle du concept de multistabilité moyenne pour les états de systèmes à fortes fluctuations et les transitions entre ces états (inversions magnétiques de polarité terrestre, changements climatiques entre les cycles glaciaires et interglaciaires, par exemple). La dynamique lente des systèmes turbulents, dans les cas où des échanges de stabilité peuvent être observés pour des quantités globales ou des propriétés moyennes du fluide, devrait également être étudiée, et des modèles non linéaires ou stochastiques de ces transitions devraient être élaborés.

Dans le cas des fluides turbulents à symétrie, il est également possible d’élaborer une mécanique statistique et de développer une approche thermodynamique des états à l’équilibre des fluides axisymétriques à une échelle donnée de macrogranularité. Cela permet de définir une entropie de mélange et des états de dérivation de Gibbs du problème par une procédure de maximisation de l’entropie de mélange sous contrainte de conservation des quantités totales. À partir de l’état de Gibbs, on peut définir des identités générales déterminant les états à l’équilibre, ainsi que les relations entre les états à l’équilibre et leurs fluctuations. Cette thermodynamique doit être testée sur des fluides turbulents, le fluide Von Kármán, par exemple. Les températures réelles peuvent être mesurées et les résultats préliminaires montrent qu’ils dépendent de la variable prise en compte, comme dans d’autres systèmes hors équilibre (verre). Enfin, nous pouvons déduire une paramétrisation du mélange non visqueux pour décrire la dynamique du système à une échelle de macrogranularité. Les équations correspondantes ont été appliquées numériquement et peuvent être utilisées comme modèle de turbulence à une nouvelle échelle sous-maille.

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